Bilan du Groupe de Travail AFGC sur les éléments finis

Exemple de la modélisation du retrait dans les ponts mixtes

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Modélisation du retrait dans les ponts mixtes

Rappel important de RdM (extrait amendé du document « Retrait et autocontraintes de janvier 2014 » du Cerema) : « La dalle en béton d'un tablier mixte, du fait de sa connexion avec la charpente, est gênée dans son retrait. Cette gêne se manifeste sous forme d'auto contraintes (effets primaires) dans la structure mixte isostatique. L'action de ce retrait (ou du gradient thermique) sur cette même structure isostatique n'induit aucun effort dans les sections (l'intégration des contraintes sur chaque section ne donnera donc ni effort normal ni moment). L'action du retrait (ou du gradient thermique) a cependant pour effet de déformer les sections. Si cette déformation est empêchée par des liaisons hyperstatiques sur la structure, il s'ensuit des sollicitations donc des contraintes dites hyperstatiques ».

Après avoir déterminé la valeur du retrait total, à l’infini ou à un temps t particulier (de mise en service de l’ouvrage par exemple), il convient d’appliquer cette charge particulière au modèle de façon adaptée (particulière puisqu’interne à la poutre). Certains logiciels dédiés au calcul mixte prennent en compte le retrait de façon automatique mais, à défaut, deux méthodes existent pour le modéliser manuellement : Soit par des d’efforts fictifs pour imposer des déformations aux sections, soit directement par des déformations imposées aux barres. (Le gradient thermique, dans le cas où son action est supposée se limiter à un allongement ou un raccourcissement de la dalle, peut être modélisé strictement de la même façon que le retrait ; la méthode peut servir de source d’inspiration au retrait différentiel dans tout système comportant des nervures et des hourdis coulés en deux phases).

1) Méthode des efforts externes

Cette méthode consiste à imposer des déformations aux barres, en introduisant, à l’origine et à l’extrémité de chaque barre, un effort normal et un moment sous forme d’efforts externes. Ces efforts dépendent de la valeur du retrait et des caractéristiques mécaniques des sections. Il convient ainsi d’appliquer un effort normal Nc (= εcs * Ea/n * Sc, Sc étant l’aire de béton, n le coefficient d’équivalence) et le moment Myc associé (= Nc*Δ), qui correspondent à la part primaire du retrait. Bien entendu, les signes de l’effort normal et du moment à l’extrémité de chaque barre doivent être opposés à celui des charges introduites à son origine (figure 1).

Attention : ces efforts, calculés à partir du retrait primaire, ne sont jamais à prendre en compte dans les combinaisons d’efforts de la structure. Dans le cas d’une poutre hyperstatique, il faut soustraire aux efforts totaux cette part primaire du retrait, puisque le logiciel ne peut fournir que la somme des effets primaires et hyperstatiques (dans une structure isostatique également, mais il est, dans ce cas, plus simple de ne pas l’introduire dans les combinaisons).

En revanche, le calcul des contraintes à partir des efforts introduits est juste, que ce soit pour une structure isostatique ou hyperstatique, sous réserve d’ajouter à la main la contrainte de traction dans le béton et à la nuance près des zones fissurées (voir les guides du CEREMA pour plus de renseignements).

2) Méthode des déformations imposées

Une autre méthode possible consiste à appliquer des déformations imposées, à savoir un raccourcissement et une rotation à chaque section, pour retranscrire le raccourcissement et la courbure répartie dus au retrait. A partir des expressions de Nc et de Myc présentées précédemment, nous pouvons établir les formulations du raccourcissement et de la rotation imposées relatives suivantes :

• dx / x = εmixte = Nc / (Ea * Smixte) = (εcs * Sc * Ea) / (n * Ea * Smixte) = (εcs * Sc) / (n * Smixte)
• dα / Δ = ωmixte = Myc / (Ea * Iymixte) = (εcs * Sc * Ea * Δ) / (n * Ea * Iymixte) = (εcs * Sc * Δ) / (n * Iymixte)

Cette méthode, à la différence de la méthode précédente, ne nécessite pas de correction sur les moments : ceux issus du calcul peuvent être combinés directement aux autres efforts (i.e. il n’y a que des effets hyperstatiques, a fortiori nuls dans le cas d’une poutre isostatique).

En revanche, il convient d’ajouter par post-traitement les contraintes primaires de retrait aux contraintes qui seraient calculées avec les efforts issus du modèle. (On comprend aisément, dans le cas d’une structure isostatique, que le fait d’introduire des déformations imposées ne génère aucun effort dans la structure).

En utilisant cette méthode, l’allure de la courbe des moments My obtenus au sein du modèle global doit correspondre à celle que provoqueraient des dénivellations d’appuis intermédiaires vers le haut. Voir la figure 2 ci-avant.

Le même raisonnement, détaillé ci-dessus au sujet des moments de flexion, peut être appliqué aux efforts normaux. Dans le cas d’un ouvrage dont seulement l’un des appuis est bloqué en translation longitudinale, la déformation imposée relative dx / x ne génère aucun effort normal.

3) Tableau récapitulatif

Le tableau ci-dessous résume les résultats obtenus après modélisation et la façon de les interpréter en fonction de la méthode retenue et de la nature de l’ouvrage.

Dans le cas des ouvrages mixtes hyperstatiques, le retrait n’est plus à appliquer dans les zones déclarées comme fissurées lors de la seconde itération de calcul. Ces zones ne subissent donc plus que les effets hyperstatiques générés par le retrait encore appliqué dans les zones non fissurées. Pour rappel, les contraintes dues au retrait dans le cas d’une poutre mixte se calculent de la façon suivante et sont représentés sur la figure 3 :

• σa,sup = Nc / Smixte + Myc * Vz / Iymixte au niveau de la semelle supérieure
• σa,inf = Nc / Smixte - Myc * Wz / Iymixte au niveau de la semelle inférieure
• σc,sup = (Nc / Smixte + Myc * Vzc / Iymixte) / n - Nc / Sc participant, au niveau du dessus du hourdis, avec n le coefficient d’équivalence Acier/Béton.

Enfin, il est parfois utile de mener une réflexion « physique » par rapport à des bornes extrêmes : plus la structure mixte est raide en flexion longitudinale et plus la contrainte au sein du béton tendra vers celle équivalente à un retrait gêné total, soit : - Nc / Sc participant, (terme appelé « correction sur béton » pour le calcul des contraintes dans tableau ci-dessus) tandis que plus la structure mixte est souple et plus la contrainte au sein du béton tendra vers 0, puisque le retrait serait alors non gêné (déplacements seuls).

Documents de référence :

• Retrait et auto contraintes - CEREMA - Janvier 2014
• Eurocodes 3 et 4, applications aux ponts routes mixtes acier-béton - CEREMA - Juillet 2007

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